На каком номере чаще выпадает роль шерифа

Приходилось ли вам от других игроков слышать фразы вида «карта шерифа чаще выпадает на четвёртом и десятом номере»? Задумывались, насколько это может быть правдой? Попробую сегодня дать развёрнутый ответ на этот вопрос. На теоретическом уровне поговорим о теории вероятностей, на практическом — посмотрим на статистику на примере тысяч сыгранных партий, а напоследок поговорим о психологических аспектах вопроса.

TL;DR Вероятность одинакова, не зависит от места.

С точки зрения теории вероятностей

Теория вероятностей говорит, что случайная величина распределяется равномерно. Если кидать идеальную симметричную монетку из однородного материала, то вероятность выпадения «орла» и «рёшки» одинакова и составляет 50%. Вероятность случайным образом вытянуть красный шар из коробки где лежат 9 белых и 1 красный шар составляет 10%. Вероятность выпадения номера на барабане в казино одинакова для каждого номера (и казино очень тщательно следит за состоянием аппаратов, чтобы обеспечить равную вероятность)

Как пробуют разбить этот аргумент? Обычно атака идёт по следующим направлениям:

1. Колоды карт недостаточно тщательно тасуются после предыдущей игры (в казино, кстати, есть специальные машины для перемешивания колоды)
2. Числа, которые показывают игроки при выборе карты не является полностью случайным (чаще показывают цифру 1, 2 или 3) а поэтому и распределение карт не является случайным
3. Вероятность вытащить карту не является случайной, т. к. если карта шерифа не выпала на первом месте, то на втором месте вероятность вытащить эту карту уже другая.

Рассмотрим подробно и тщательно один упрощённый пример.

В ящике находится 3 красных шара и один фиолетовый. Из ящика последовательно достают шары и присваивают им номера от 1 до 4. Какая вероятность фиолетовый шар имеет номер 1? Номер 2? Номер 3? Номер 4?

Для тех, кто не хочет принимать простой ответ «1/4» распишем подробно все варианты:

1. фиолетовый шар на первом месте: P(A) = (1/4) * (3/3) * (2/2) * (1/1) = 25%
2. фиолетовый шар на втором месте: P(B) = (3/4) * (1/3) * (2/2) * (1/1) = 25%
3. фиолетовый шар на третьем месте: P(C) = (3/4) * (2/3) * (1/2) * (1/1) = 25%
4. фиолетовый шар на четвертом месте: P(D) = (3/4) * (2/3) * (1/2) * (1/1) = 25%

Здесь на примере третьего места:

• Когда мы достаём первый шар у нас вероятность 3/4 достать красный шар
• Когда мы достаём второй у нас осталось 3 шара и вероятность достать красный 2/3
• Когда мы достаём третий шар у нас остался один красный шар и один чёрный, вероятность вытащить чёрный 1/2
• Когда мы достаём последний шар вероятность вытащить красный шар уже 100% (остался только один шар и он красный)

Поэтому P(C) равно произведению вероятностей 1, 2, 3 и 4.

Можете разобрать любой похожий пример (коробка с 5 шарами, с шестью и т. п.) на одну карту — и вы сами увидите, что вероятности не зависят от номера места для уникального («шерифского») шара.

А на практике?

В базе клуба с 2012 года уже более 10 тысяч игр, попробуем посмотреть, как в реальности распределялись роли по разным игровым местам.

На примере партий в которых было 13 игроков. Всего было сыграно 1772 игры, сырые данные из партий я саггрегировал в такую табличку:

Если отнормировать данные, то распределение близко к теоретическому:

Видно, что расхождение теоретического распределения и полученного на практике составляет 1 — 2%:

Аналогично и для другого числа игроков распределение практически не отличается от теоретического: кому любопытно — я прикладываю к статье файл электронной таблицы, в котором есть все эти данные в сыром и обработанном виде.

В классике

Уже на примере различного набора карт (с доктором и без доктора) видно, что не важно какой колодой мы играем — вероятности на практике совпадают с теоретическим распределением.

Но ради интереса я посмотрел статистику и по классической колоде (только 4 роли: 6 мирных, 1 шериф, 2 мафии, 1 дон) взяв для примера данные по партиям с номерами 1 — 70000.

Не все эти партии являются валидными. Некоторые просто отстустствуют (например, партия № 1 не открывается), некоторые не заполнены роли (например такая партия), иногда число ролей отличается от правильного (см. например такую партию, я ещё смеялся «Почему ничья? Ведь победа мирных, да ещё в безшерифской!»)

«Правильных» протоколов нашлось 54354 штуки. По ним распределение ролей выглядит так:

Отклонений от теоретического распределения почти нет, доли процента, иногда 1%.

Психологический аспект

Отчего же нам кажется порой, что на практике распределение какое-то не совсем случайное?

Наша память не является «киноплёнкой», которая фиксирует все события подряд — люди лучше запоминают события, которые имеют сильную эмоциональную окраску (и негативную, и позитивную). Если у нас была некоторая теория скажем «шериф чаще выпадает на 4м месте» мы можем отбрасывать и забывать случаи, которые не укладываются в нашу картину мира и вспоминать только те игры, которые подтверждают нашу картину мира. (См. когнитивное искажение «Селективное восприятие» например в википедии)

Также наше мышление не приспособлено к анализу вероятностных величин, поэтому существует серия когнитивных искажений, основанных на преувеличении вероятности частных случаев.

Надеюсь, вышеописанное даст более твёрдое понимание что на большой дистанции вероятности выпадения ролей на определённом месте не зависят от номера.

Обсудить статью в телеграм, вконтакте

Опубликовано: 28.11.2024